LOGARITMOS

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu  desenvolvimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele. Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica. Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou 

no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais   usa uma tábua  de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a  possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu. 

A régua de cálculo é composta por dois tipos de escalas: as fixas e as móveis, e em cada uma destas partes estão distribuídas as várias possíveis escalas. Quase sempre as escalas mostradas na figura ao lado estão presentes em todas as réguas. Estas são as principais escalas mas, no entanto, existem muitas outras, inclusive há réguas que possuem diversas partes móveis com escalas diferentes que podem ser intercambiadas na parte fixa para expandir as possibilidades de cálculos, por exemplo na régua ao lado não existe a escala S que faz cálculos com senos, assim poderíamos tirar a parte móvel (composta, no caso, pelas escalas B, CI e C), e colocar uma outra que contivesse a escala S que em conjunto com a escala D permite cálculos de seno.

Manual da régua de logaritmo :  clique aqui <----para ver o manual.

Régua de logaritmo virtual : clique aqui <----- Régua online. 

REPRESENTAÇÃO DO LOGARITMO

PROPRIEDADES DO LOGARITMO

APLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS.

A primeira aplicação de números complexos à teoria de circuitos elétricos parece ter sido realizada pelo cientista alemão Hermann von Helmholtz (1821-1824). A aplicação de números complexos na análise de circuitos elétricos de corrente alternada (CA) foi disseminada nos Estados Unidos por Arthur Edwin (1861-1939) e Charles Steinmetz (1865-1923) com auxílio de Julius Berg (1871-1941) no final do século XIX. Em 1823, Edwin adotou o termo Impedância (inventado por Heaviside) assim como os números complexos para os elementos dos circuitos elétricos CA, o que foi seguido por Steinmetz. Desde então, os números complexos são fundamentais para a Engenharia Elétrica.
Os fasores e os números complexos são duas importantes senoidais podem ser  matemática e  graficamente representadas  por ferramentas para a análise de circuitos ca. As tensões e correntes fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de fase. O sistema de números complexos é um meio de expressar os fasores  e de operá-los matematicamente.

Um fasor tem representação gráfica semelhante a um  vetor, mas em geral refere-se a grandezas que variam no tempo como as ondas senoidais.O comprimento de um fasor representa sua magnitude, e o ângulo θ representa sua posição angular relativa ao eixo  horizontal tomado  como referência.  Os ângulos positivos são medidos no sentido anti-horário a partir da referência (0°) e os ângulos negativos são medidos no sentido horário a partir da referência.

Referências
[1] Floyd, T.L. Principles of Electric Circuits, 6thEd. Prentice Hall,2000. ISBN 0-13-095997-9.927p.
[2] Nilsson, James W., Reidel, Susan A., Circuitos Elétricos, LTC, 6ª Edição, 2003.
[3] Kerchner, R.M., Corcoran,G.F., Circuitos de Corrente Alternada, Porto Alegre, Globo, 1973.

NÚMEROS COMPLEXOS (calculadora HP)

Na HP o número na forma a+jb deve ser inserido como (a,b). conforme ilustração .
A calculadora HP  realiza adição , subtração , multiplicação e ate "divisão" (what????) com numero complexo. 
Como assim divisão ..... A divisão do numero complexo em uma calculadora simples deve-se primeiro transforma
em coordenada polares para posteriormente efetuar a divisão. porem a HP executar internamente o comando.
Na HP números complexo não tem mistério. 
Caso voce queira visualizar os numeros complexo na forma polar, basta mudar a coordenada de retangular para polar.

NÚMEROS COMPLEXOS

UM POUCO DE HISTORIA ...

Resolver equa ções sempre foi um assunto que fascinou matem aticos ao longo da hist oria. Os matem áticos antigos da Babilônia j a conseguiam resolver algumas equações do 2ª grau baseados no que hoje chamamos de "completamento de quadrado".

A aritmética e a Geometria tiveram origem independentes mas com tempo foram sendo descobertas relações entre números e formas. A idéia de empregar sistemas de coordenadas para definir posições de pontos no plano e no espaço já havia sido utilizada da no século II a. C.Porem mais tarde com o domínio da geometria analítica Descartes estudou, entre outras coisas, as equações algébricas. Em uma passagem do discurso do método Descartes escreveu a seguinte frase: "Nem sempre as raízes verdadeira (positivas) ou falsa (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias". Por esse motivo, até hoje o número é chamado de número imaginário, termo que se consagrou juntamente com a expressão "número complexo". 

DEFINIÇÃO: 

O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto ( x , y ) do plano ao número complexo x + yi. Esta associação conduz a pelo menos duas formas de representar um número complexo:

• Forma retangular ou cartesiana:

z = a + bi  ou   P (a, b)

representa o número Z em coordenadas cartesianas separando a parte real da parte imaginária.

• Forma polar:

onde r é a distância euclidiana do ponto:

Z= (a,b)

até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo do número complexo e denotada:

Enquanto  é o ângulo entre a semi-reta  e o semi-eixo real, chamado de argumento do número complexo Z e denotado por .

Através da identidade , a forma polar é equivalente à chamada forma exponencial: 

OPERAÇÕES COM NUMEROS COMPLEXOS


Considerando o numero complexo z = a+ib e z1 = c+ id
Adição: z+z1= (a+c)+(b+d)i
Subtracção: z-z1= (a-c)+(b-d)i
Multiplicação: z.z1= (ac -bd) +(ad+ bc)i
Conjugado : z*=a-bi

Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:

Dado dois números complexos z1 e z2, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra:
z1 : z2 = z1 .
z2



De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:

Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:




Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.

i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um.
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.
i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja:
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante.

Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i.

Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da divisão.

complemento do tema numeros complexos - Apostila Prof. Fabiano (Calculo IV - Pucminas)

http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/complexos.pdf

fontes:

http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo

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Uma multiplicação muito Interessante....

Durante a Idade Média e o Renascimento, poucas foram as pessoas que chegaram a conhecer a tabela de multiplicar para além de 5x5 . Assim, usava-se um método muito popular que se baseava no uso dos complementos dos números dados relativamente a 10. Como tal, o complemento de n relativamente a 10 será 10-n. Neste método era frequente usar os dedos das mãos como instrumento de cálculo. Associa-se aos dedos de cada mão os números de 6 a 10, começando pelo dedo mindinho. Para multiplicar 7 por 8 tocam-se os dedos associados ao 7 e ao 8, como se observa na figura seguinte.

Note-se que o complemento de 7 está representado pelos três dedos superiores (situados acima dos dedos em contato) de uma mão e o complemento de 8 pelos dedos superiores na outra mão. Os cinco dedos inferiores representam o 5, ou seja, 5 dezenas. A 50 adiciona-se o produto dos dedos superiores, 3x2, ou seja 6, dando no total 56. 

JUSTIFICATIVA: Como é isto possível? Ao calcular pxq (p, q = 6, 7, 8, 9), juntam-se p-5 dedos na mão esquerda e ficam 10-p dedos. Na mão direita juntam-se q-5 dedos e sobram 10-q dedos. A soma dos dedos da mão esquerda com os dedos da mão direita representa as dezenas, ou seja, 10(p-5 + q-5). A este resultado adiciona-se o produto dos dedos que sobram de ambas as mãos, ou seja, (10-p)(10-q).  Assim, o resultado é :  10(p-5 + q-5) + (10-p)(10-q),

ou seja, 10p - 50 + 10q - 50 + 100 - 10q - 10p + pq = p x q.

Este método simples de usar os dedos para calcular o produto de qualquer par de números compreendidos entre 6 e 10 foi extensivamente usado durante o Renascimento, ainda hoje é utilizado em certas zonas rurais da Europa e da Rússia. Este método deve ser dado a conhecer aos alunos, em qualquer nível de escolaridade, visto ser um método de multiplicar interessante, curioso e motivante. (Por Marcele –Profa.  de Math  do Col. Estad. Almirante Barroso, Salvador/BA).

Fonte : http://bettonunes.blogspot.com/2011/01/uma-multiplicacao-muito-interessante.html