NÚMEROS COMPLEXOS

UM POUCO DE HISTORIA ...

Resolver equa ções sempre foi um assunto que fascinou matem aticos ao longo da hist oria. Os matem áticos antigos da Babilônia j a conseguiam resolver algumas equações do 2ª grau baseados no que hoje chamamos de "completamento de quadrado".

A aritmética e a Geometria tiveram origem independentes mas com tempo foram sendo descobertas relações entre números e formas. A idéia de empregar sistemas de coordenadas para definir posições de pontos no plano e no espaço já havia sido utilizada da no século II a. C.Porem mais tarde com o domínio da geometria analítica Descartes estudou, entre outras coisas, as equações algébricas. Em uma passagem do discurso do método Descartes escreveu a seguinte frase: "Nem sempre as raízes verdadeira (positivas) ou falsa (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias". Por esse motivo, até hoje o número

é chamado de número imaginário, termo que se consagrou juntamente com a expressão "número complexo".

DEFINIÇÃO:

O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto ( x , y ) do plano ao número complexo x + yi. Esta associação conduz a pelo menos duas formas de representar um número complexo:

Forma retangular ou cartesiana:

z = a + bi ou P (a, b)

representa o número Z em coordenadas cartesianas separando a parte real da parte imaginária.

Forma polar:

$Z= r(cos \theta+i\sin\theta)\,$

onde r é a distância euclidiana do ponto:

Z= (a,b)

até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo do número complexo e denotada:

$|Z|=\sqrt{x^2+y^2}\,$

Enquanto $\theta\,$ é o ângulo entre a semi-reta $\overline{OZ}\,$ e o semi-eixo real, chamado de argumento do número complexo Z e denotado por $\arg(Z)\,$ .

Através da identidade $e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta\,$ , a forma polar é equivalente à chamada forma exponencial: $Z=re^{i\theta}\,$

OPERAÇÕES COM NUMEROS COMPLEXOS

Considerando o numero complexo z = a+ib e z1 = c+ id
Adição: z+z1= (a+c)+(b+d)i
Subtracção: z-z1= (a-c)+(b-d)i
Multiplicação: z.z1= (ac -bd) +(ad+ bc)i
Conjugado : z*=a-bi

Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:

Dado dois números complexos z1 e z2, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra:
z1 : z2 = z1 .
z2

De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:

Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:

Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.

i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um.
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.
i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja:
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante.

Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i.

Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da divisão.

complemento do tema numeros complexos - Apostila Prof. Fabiano (Calculo IV - Pucminas)

http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/complexos.pdf

fontes:

http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo